ŽDU

Naučme sa kombinovať

Máte radi rozprávky? Ja mám rada tie o Šmolkoch. Predstavte si teraz na chvíľku, že sme aj my tu všetci v takej malej "šmolkovskej" dedinke a práve sa blíži Veľká noc.

Šmolinky maľujú vajíčka, Šmolkovia skrášľujú dedinu a na všetko dozerá múdry tatko Šmolko. Aby sa pri tom nenudil, rozmýšľal... V Šmolkove majú 7 áut a každé z nich má samozrejme svoju poznávaciu značku. Každá značka je trojmiestna, pričom na prvom mieste je niektoré z nepárnych cifier 1, 3 a 5; na druhom mieste je cifra 2 alebo 4 a na treťom mieste je písmenko A, B alebo C. Pomôžete tatkovi Šmolkovi spočítať, koľko Šmolkov si ešte môže kúpiť auto pri tomto spôsobe označenia? Skúsme si najprv všetky značky spočítať a potom ich vytvoriť. Každá značka má 3 políčka (obr. 1).

tabuľka Obr. 1

Tatko Šmolko počítal takto:
"Do prvého políčka môžem vyberať z 3 možností, na druhé miesto z 2 možností a na 3 miesto znovu z 3 možností. Spolu môžem teda vyrobiť 3 x 2 x 3 = 18 takých poznávacích značiek. Šmolkovia si teda podľa mojich výpočtov môžu pokojne prikúpiť ešte 11 áut." Čo vy na to? Počítal tatko Šmolko správne? Pokúste sa nakresliť všetky poznávacie značky.

Je jar, Šmolkovia sa tešia zo slniečka ale... predsa len im je trošku smutno za tými všetkými zimnými zábavkami... A aby až tak veľmi nesmútili, vymysleli si, že z posledného snehu, ktorý majú pred chalúpkami, postavia snehuliakov. Akokoľvek sa však snažili, podarilo sa im postaviť len troch snehuliakov. Maličkých a smutných. No a komu by sa to páčilo? Šmoulinka s Umelcom preto priniesli červenú, zelenú a modrú farbu a snehuliakov chceli vyfarbiť... Ale beda! Každý Šmolko chcel mať snehuliaka zafarbeného inak. Nakoniec sa dohodli, že maľovať budú každú snehuliakovu guľu len jednou farbou a skôr ako začnú, každý Šmolko na papier nakreslí svojich troch vymaľovaných snehuliakov. Čo myslíte? Podarí sa im dohodnúť? Koľko možností na vyfarbenie snehuliakov vymysleli? Mudroš si hneď zobral papier a bez kreslenia povedal výsledok. My si ich však najprv skúsime všetkých nakresliť.

Prvá možnosť je samozrejme taká, že všetci snehuliaci budú jednofarební a každý bude inej farby (obr. 2).

Snehuliaci Obr. 2

Takí snehuliaci budú traja. Potom nakreslíme všetkých snehuliakov s jednou guľou jednej farby a zvyšnými dvoma inej, ale rovnakej farby (obr. 3). Viete koľko ich bude? (nakreslíme, spočítame).

Snehuliaci Obr. 3

Zistili sme, že takto by sme mohli vyfarbiť až 18 snehuliakov. Ostáva nám spočítať všetky možnosti vymaľovania tých snehuliakov, ktorí majú každú guľu vyfarbenú inou farbou. Pomôžeme im? Tak skúsme namaľovať a spočítať všetky možnosti. Aby sme sa nepomýlili, nakreslíme si najprv všetkých snehuliakov so zelenou, potom s červenou a nakoniec s modrou hlavou (obr. 4) ...

Snehuliaci Obr. 4

Takýchto možností je teda tiež 6. Už vieme koľko je všetkých možností na vymaľovanie snehuliakov - 27. Šmolkovia sa však stále nevedeli dohodnúť. Nakoniec všetky návrhy vystavili a vybrali si. Vybrali si len snehuliakov, ktorí mali každú guľu inej farby, lebo sa im zdali veselší. A viete ako na svoje riešenie prišiel Mudroš? Jednoducho si povedal: Mám tri farbičky a každý snehuliak je postavený z troch gúľ. Skúsme rozmýšľať s ním: (A) Koľkými farbami môžeme vymaľovať hlavu? Samozrejme tromi - máme predsa tri farby. (B) Koľkými farbami môžeme vymaľovať brucho? Zase máme tri farby, takže môžeme aj brucho vyfarbiť tromi spôsobmi (resp. dvomi spôsobmi, ak chceme, aby sa farby neopakovali a brucho bolo vyfarbené inou farbou ako hlavu). A (C) koľkými farbami môžeme vymaľovať nohy? Odpoveď je znovu jednoduchá: možnosti sú znovu tri (alebo jedna, ak nechceme, aby sa farby opakovali). Keď všetko toto spočítame, zistíme, že všetkých možností je 3 x 3 x 3 = 27 (alebo 3 x 2 x 1 = 6 , ak nechceme, aby sa farby opakovali). Vedeli by ste pomôcť večne nespokojnému Hundrošovi spočítať, koľko snehuliakov by vymaľoval, keby mu Šmoulinka dala k zelenej, modrej a červenej farbe ešte žltú?
(Spočítame bez kreslenia 4x3x2 = 24 alebo 4x4x4=64.)

Kým sa Šmolkovia dohadovali, Šmoulinky maľovali veľkonočné vajíčka. Rozdali si 4 farby: žltú, ružovú, červenú a modrú a dohodli sa, že každé vajíčko vymaľujú len tromi pásikmi tak, aby v strede bol červený pásik (obr. 5). Čo myslíte, koľko rôznych vajíčok takto namaľovali? (vajíčka namaľujeme)

vajíčko Obr.5

Zistili sme, že rôznych vajíčok bude iba 6. Čo by na to povedal Mudroš? Počítajme s ním a zistíme, že na vrchný pásik môžeme použiť 3 farby a na spodný nám potom ostanú už len dve, z ktorých si vyberáme. Možností je teda 3 x 2 = 6. Porovnajme tento výsledok s príkladom o snehuliakoch.

vajíčka Obr. 6

Ani Šmoliatka nezaháľali a farebnými krúžkami ozdobili plot z drevených kolov okolo námestia. Krúžky vyberali z piatich farieb (červená, biela, zelená, modrá, žltá) a navliekali ich po piatich zvrchu na koly. Koľko kolov takto ozdobili, ak každý z nich bol iný, teda, ak bol ozdobený piatimi rôznymi krúžkami, navlečenými na každom kole v inom poradí? Mali dosť krúžkov, ak ich z každej farby bolo 150? Spočítajme všetky možnosti (kresliť ich nebudeme, je ich veľa).

Máme 5 možných pozícií pre krúžky. Označíme si ich A, B, C, D, E (obr.7).

tabuľka Obr. 7

Na miesto A vyberáme z 5 farieb, na miesto B zo 4 farieb, na miesto C z 3 farieb, na miesto D z 2 farieb a na posledné miesto už len z jednej farby, teda spolu máme 5 x 4 x 3 x 2 x 1, čo je 120 možností. Okolo námestia teda môže byť krúžkami ozdobených až 120 rôznych kolov, takže z každej farby ostane 30 krúžkov. Vyfarbime si aspoň niekoľko kolov (obr. 8 ).

farbenie kolov Obr. 8

Dôležité je aj pri kreslení si vytvoriť systém. Začnime napríklad navliekať krúžky odspodu tak, aby prvý bol červený: červený, modrý, žltý, zelený, biely; na susednom kole vymeňme len posledné dva krúžky- teda: červený, modrý, žltý, biely, zelený; na ďalšom kole necháme červený a modrý krúžok a ďalšie postupne navlečme zelený, žltý, biely; potom znovu vymeňme len posledné dva navzájom: červený, modrý, zelený, biely, žltý; piaty kôl bude červený, modrý, biely, zelený, žltý a šiesty kôl červený, modrý, biely, žltý, zelený a tak ďalej. Ďalšia skupinka kolov by mohla mať prvý krúžok červený, druhý biely a zvyšné tri skombinujeme postupne tak, ako pri prvých šiestich koloch. Kolov, ktoré budú mať najspodnejší krúžok červený bude teda spolu 4 x 6, teda 24. Keď uvážime, že začínať môžeme piatimi rôznymi farbami, dostaneme všetkých 24 x 5 = 120 možností... Uff...

Ani si pri toľkej práci nik nevšimol, že slniečko dávno zašlo za horu. Šmolkovia boli veľmi unavení a pobrali sa rýchlo spať. Na nedeľu si Šmolkovia totiž pripravili vystúpenie, ktorým sa rozhodli privítať jar. Vystúpenie malo 4 čísla: Šmoliatka chceli zaspievať pesničku, Básnik sa chcel pochváliť svojou najnovšou básňou o jari, Šmoulinka chcela zatancovať a všetkých Šmolkov chcel vo svojej reči pochváliť Tatko Šmolko. Koľko je možných všetkých poradí vystúpení? Koľko je takých možností, že vystúpi Šmoulinka pred Básnikom? Opäť si všetky možnosti spočítame a odôvodníme.

Tak sme sa so Šmolkami v Šmolkove trošku zahrali. Páčila sa vám táto hra? V celej matematike sa môžeme hrať. Hra, ktorú sme sa naučili hrať dnes, sa volá KOMBINATORIKA, ktorá nás učí ako a koľkými spôsobmi môžme veci správne kombinovať a vymysleli ju Blaire Pascal, Pierre Fermat, Jacob Bernoulli, Piere Simone Laplace, Leonard Euler a Gotfried Wilhelm Leibnitz asi pred 300 rokmi.




Naspäť