ŽDU

O krivkách

Keby sa vás niekto spýtal, čo je to vlastne čiara, čo by ste mu povedali? Úsečka? Priamka? Kružnica? Jedna moja kamarátka hovorí, že čiara je to, čo za sebou zanechá slimák, keď prejde po ceste. Teda... raz je to úsečka, inokedy kus priamky, či kružnice... a väčšinou niečo úplne iné.

Príklad priestorovej krivky v praxi(Skrutkovica) Obr. 1 Príklad priestorovej krivky v praxi (Skrutkovica)

Základy teórie kriviek


V matematike, ale najmä v geometrii a vo všetkých vedách s ňou súvisiacimi, sú čiary veľmi dôležité. Teda aspoň niektoré. Nemám teraz na mysli úsečky a priamky, ale skôr také tie všelijako pokrivené čiary. Budeme ich nazývať krivky. Keby sme chceli v tejto chvíli napísať, čo to vlastne krivka je, asi by to nebol dobrý nápad. Presná definícia krivky by si vyžadovala veľmi hlboké a podrobné poznatky z mnohých častí geometrie, matematiky či fyziky. Pre naše účely nám úplne postačí mierne upravená, teda trochu odbornejšia definícia od mojej kamarátky. Za krivku budeme považovať trajektóriu - dráhu pohybujúceho sa bodu. Aby sme si mohli niektoré krivky nielen nakresliť, teda zostrojiť, ale aj matematicky popísať, dohodneme sa, že bod, o ktorom hovoríme, sa pohybuje v nejakom čase t. Keďže dráha nášho bodu sa mení spolu s pribúdajúcim časom, nazveme hodnotu t parametrom. Krivku potom môžeme považovať za nekonečnú množinu bodov, ktorých poloha závisí od jediného parametra t. Hovoríme, že krivka je jednoparametrická sústava bodov a matematicky by sme túto skutočnosť vyjadrili rovnicami pre jednotlivé súradnice (x = f(t), y = g(t)).

Krivky delíme z rôznych pohľadov, napríklad na rovinné a priestorové. Rovinnou krivkou je taká krivka, ktorej všetky body ležia v jednej rovine. Takou je napríklad už spomínaná kružnica. V opačnom prípade hovoríme, že krivka je priestorová. Takou je napríklad strunka vo vašej "prepisovačke". Ďalšie rozdelenia kriviek vychádzajú z iných kritérií. Poznáme napríklad krivky empirické, teda tie, pre ktoré poznáme graf, ale nevieme ich matematicky vyjadriť a potom krivky matematické, teda tie, ktoré sú vyjadrené matematickými rovnicami a podobne.

Nám na začiatok postačí, ak sa zoznámime s niektorými najznámejšími rovinnými krivkami. Aby sme sa s krivkami a ich vlastnosťami oboznámili bližšie, budeme si ich modelovať. Potrebujeme ceruzku, papier, mäkkú podložku pod papier, špendlíky, pevnejší drôtik, pevnú niť alebo špagátik, vrchnáky zo zaváracej fľaše, CD-čka... alebo veľmi dobrú predstavivosť. Začneme tým, že si zadefinujeme niektoré základné pojmy, ktoré budeme neskôr používať.

Predstavte si ľubovoľnú jednoduchú krivku k v rovine (môžete si ju nakresliť alebo vymodelovať z drôtika). Každú priamku s, ktorá pretína túto krivku, budeme nazývať sečnicou krivky a body, v ktorých priamka s krivku k pretne, nazveme priesečníky priamky s krivkou. Vyberme si z krivky len úsek, na ktorom má s priamkou práve dva spoločné body A, B. Ak si túto situáciu vymodelujete z drôtikov, priviažte si jemne "priamku" o "krivku" v ich priesečníkoch. Pozrime sa, čo sa stane s priamkou s, keď začneme bod A po krivke približovať k bodu B až do chvíle keď splynú. V takomto prípade má krivka s priamkou jediný spoločný bod, mení sa zo sečnice s na dotyčnicu t a priesečníky splynú do bodu, ktorý nazveme dotykový bod a označíme ho T. V odborných knihách sa o priamke t (dotyčnici) dočítate ako o limitnej polohe priamky s (sečnice). Úsečku AB nazývame tetiva krivky k. Kolmicu n, zostrojená na dotyčnicu t v dotykovom bode T krivky a ležiaca v rovine krivky k nazývame normálou krivky k v bode T.

Sečnica Obr. 2 Sečnica
Dotyčnica Obr. 3 Dotyčnica

Kužeľosečky


Kužeľosečky sú jedny z najznámejších rovinných kriviek. Ako už ich názov napovedá, vznikajú "preseknutím", teda rezom kužeľa. V tomto článku si povieme niečo málo len o tých "preseknutiach", ktoré neprechádzajú vrcholom spomínaného kužeľa. Navyše sa dohodneme, že pod kužeľom si nebudeme predstavovať taký ten "cestársky" kužeľ (obr. 4), ktorý sa na zemi začína a vrcholom končí. My si kužeľom pomenujeme útvar, ktorý vznikne, keď dva takéto kužele vo vrchole zlepíme. Presnejší názov pre takýto útvar je dvojkužeľ. Modelovanie takého útvaru je veľmi jednoduché: vezmite si vrchnák v tvare kruhu na zaváraciu fľašu ľubovoľnej veľkosti, zviažte asi 20 špajdlí v strede niťou a postavte ich na stôl do vrchnáka tak, aby sa dotýkali jeho stien. Na obrázku vidíme, ako by sme potom rozrezali kužeľ tak, aby vznikli jednotlivé kužeľosečky. Pomenovanie kužeľosečiek - parabola, hyperbola a elipsa zaviedol vo svojich ôsmych knihách o kužeľosečkách okolo roku 200 p.n.l Apollónius z Pergy. Analytickú geometriu kužeľosečiek rozpracoval R. Descartes vo svojej knihe La Geometrie a zaujímavú prácu o bodových konštrukciach kužeľosečiek napísal už Ibrahím Ibn Sinán. Poďme sa teraz pozrieť na tieto krivky postupne a podrobnejšie.

cestársky kužeľ Obr. 4 "Cestársky" kužeľ
Kužeľosečky Obr. 5 Kužeľosečky

Parabola


Parabola je krivka, ktorú tvoria všetky body v rovine rovnako vzdialené od pevne zvolenej priamky d a ľubovoľného pevne zvoleného bodu F, ktorý na tejto priamke neleží. Keď si uvedomíme, kde takéto body ležia, nebude ťažké ich nájsť. Priamku d potom nazveme určujúca priamka paraboly a bod F ohnisko paraboly. Priamka prechádzajúca ohniskom kolmo na určujúcu priamku je os paraboly a bod v ktorom os pretína parabolu je vrcholom paraboly. Vzdialenosť zadanej priamky od daného bodu sa nazýva parameter a označujeme ho p.

Parabola Obr. 6 Parabola

Využitie v praxi


Jednou z vlastností paraboly najčastejšie využívaných v praxi je skutočnosť, že každý lúč dopadajúci na krivku v smere jej osi sa odrazí priamo do ohniska paraboly. Táto vlastnosť sa najčastejšie využíva pri príjme signálov - satelitné prijímače, parabolické antény (obr. 7) a podobne. Podľa legendy použil Archimedes pri obrane Sirakúz parabolické zrkadlá na to, aby nimi odrazil slnečné lúče, a tým podpálil nepriateľské lode. Doterajšie štúdie však skôr ukazujú na nepravdivosť tohto príbehu. Parabolu by sme mohli spozorovať pri šikmom vrhu (obr. 8) ľubovoľného telesa v prípade, ak by sa pohybovalo v prostredí bez pôsobenia odporovej sily (ohňostroj, vyletujúce sopečné kamene (obr. 9) a podobne).

Parabolická anténa Obr. 7 Parabolická anténa
Šikmý vrh Obr. 8 Šikmý vrh
Vyletujúce sopečné kamene Obr. 9 Vyletujúce sopečné kamene

Hyperbola


Hyperbola je krivka, vytvorená zo všetkých bodov v rovine, ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch pevne zvolených bodov F1, F2 je konštantný a menší ako je vzdialenosť týchto bodov. Body F1 a F2 nazývame ohniská hyperboly, stred úsečky F1F2 označujeme S a tento bod je zároveň stredom hyperboly. Priamka prechádzajúca ohniskami hyperboly je hlavná os hyperboly, priamka kolmá na ňu cez bod S je vedľajšia os hyperboly.

Hyperbola Obr. 10 Hyperbola

Využitie v praxi


Hyperbola sa veľmi často využíva najmä v stavebníctve. Plochy, ktorých je súčasťou - rotačný hyperboloid, parabolický hyperboloid majú totiž okrem zaujímavého dizajnu i výborné statické a iné vlastnosti. Najčastejšie sa využívajú pri stavbe chladiarenských veží a komínov, ale i na zastrešovanie rôznych budov.

Hyperbola v praxi Obr. 11 Hyperbola v praxi
Parabolický hyperboloid Obr. 12 Parabolický hyperboloid
Rotačný hyperboloid Obr. 13 Rotačný hyperboloid

Elipsa


Elipsa je krivka, vytvorená zo všetkých bodov v rovine, ktorých súčet vzdialeností od dvoch pevne zvolených bodov F1, F2 je konštantný a väčší ako je vzdialenosť týchto bodov. Body F1 a F2 nazývame ohniská elipsy, stred úsečky F1F2 označujeme S a tento bod je zároveň stredom elipsy. Priamka prechádzajúca ohniskami elipsy je hlavná os elipsy, priamka kolmá na ňu cez bod S je vedľajšia os elipsy.

Elipsa Obr. 14 Elipsa

Elipsu si môžete veľmi jednoducho nakresliť pomocou špagátu, ceruzky, papiera a dvoch špendlíkov alebo klinčekov. Zapichneme 2 špendlíky do dvoch ľubovoľných bodov na papieri. Priviažeme k nim špagátik, ktorého dĺžka je väčšia ako vzdialenosť špendlíkov. Ak budeme držať ceruzku, ktorou kreslíme tak, aby bol špagát medzi špendlíkmi stále napnutý a posúvať ju, narysujeme krásnu elipsu.

Kreslenie elipsy Obr. 15 Kreslenie elipsy

Využitie v praxi


Okrem využitia eliptických tvarov v dizajnérstve bola elipsa často využívaná v histórii najmä pri výstavbe divadiel a koncertných sál. Elipsa má totiž zaujímavú vlastnosť: ak by ste sa postavili do jedného ohniska elipsy čelom k elipse, všetko čo poviete by veľmi zreteľne počuli ľudia nachádzajúci sa v druhom ohnisku. V astronómii nie je elipsa tiež ničím výnimočným. Napríklad obežné dráhy planét vo vesmíre majú tvar elíps a podobne.

Elipsa v praxi Obr. 16 Elipsa v praxi

Kinematická geometria v rovine


Geometria skúmajúca pohyb na základe čisto geometrickom, teda nezávisle od času, v ktorom bol vykonaný sa nazýva kinematická geometria. Nakoľko pri takomto pohybe nie je dôležitá rýchlosť, nazýva sa často premiestnením. Rovinná kinematická geometria skúma premiestňovanie rovinného útvaru v jeho rovine. Krivky, po ktorých sa pohybujú jednotlivé body pohybujúceho útvaru nazveme trajektórie - dráhy tohto pohybu. Medzi najznámejšie kinematické rovinné krivky patria špirály, cyklické krivky, konchoidy...

Špirály


Špirály vo svojich prácach skúmali už starovekí gréci. Predstavte si, že do stredu rovnomerne sa otáčajúcej kruhovej platne postavíte mravca, ktorý sa rovnomernou rýchlosťou pohybuje od stredu po polpriamke von z kruhu. Povedzme, že platňu s mravcom otočíme o nejaký uhol alfa a mravec pritom prejde dráhu dlhú x cm. Mravec sa teda posúva po polpriamke o dĺžku, ktorá je priamo úmerná uhlu, o ktorý sa otočí platňa. Vedeli by ste pohyb mravca nakresliť? Ako vyzerá trajektória jeho pohybu? Takýmto pohybom vzniká rovinná krivka, ktorá sa nazýva Archimedova špirála. Túto krivku skúmal už Conon zo Samosu a neskôr i Archimedes vo svojej práci On spirals okolo roku 225 p.n.l. Vo všeobecnosti trajektóriou bodu, ktorý v rovine vykonáva rovnomerný posuvný pohyb spojený s rovnomerným rotačným pohybom, je špirála. V závislosti od spôsobu vytvárania špirály a od typu priamej úmery medzi týmito dvoma pohybmi potom hovoríme o špirále Archimedovej, logaritmickej a podobne.

Archimedova špirála Obr. 17 Archimedova špirála
Papraď v tvare špirály Obr. 18 Papraď v tvare špirály
Špirálovitá hmlovina Obr. 19 Špirálovitá hmlovina

Cyklické krivky


Pohyb, pri ktorom sa kružnica kotúľa po svojej dotyčnici alebo po inej kružnici nazývame cyklickým pohybom. Ak sa kružnica k kotúľa po priamke t, ktorá je jej dotyčnicou, ide o pohyb ortocykloidálny, ak budeme kotúľať kružnicu k po vonkajšej strane inej kružnice h pôjde o pohyb epicykloidálny. Ak menšiu kružnicu k budeme kotúľať po vnútornej strane väčšej kružnice h, pôjde o pohyb hypocykloidálny, ak to bude naopak, teda väčšiu kružnicu k budeme kotúľať po menšej kružnici h, ktorá je v nej, pôjde o pohyb pericykloidálny. Evolventným nazveme pohyb, pri ktorom sa po kružnici h kotúľa jej dotyčnica t. Trajektórie bodov pri uvedených pohyboch nazývame ortocykloidy, epicykloidy, hypocykloidy, pericykloidy, či evolventy kružnice. Pri pohybe skúmame trajektóriu bodu T, ktorý je vždy spojený s pohybujúcim sa útvarom.

Ortocykloidálny pohyb Obr. 20 Ortocykloidálny pohyb
Epicykloidálny pohyb Obr. 21 Epicykloidálny pohyb
Hypocykloidálny pohyb Obr. 22 Hypocykloidálny pohyb
Pericykloidálny pohyb Obr. 23 Pericykloidálny pohyb
Špirálovitá hmlovina Obr. 24 Evolventný pohyb

Ortocykloida


Ak by sme v tme pozorovali svetlo upevnené na obvode kolesa bicykla, zistili by sme, že svetelná stopa má tvar základnej ortocykloidy tak, ako ho vidíme na obrázku. Ak by sme pozorovali svetlo upevnené vo vnútri kolesa - napríklad na jeho špajdli, videli by sme krivku, ktorú nazývame skrátená ortocykloida. Trajektória bodu, ktorý je spojený s kružnicou tak, že leží mimo kruhu na spojnici so stredom kružnice sa nazýva predĺžená ortocykloida. Všetky tri ortocykloidy si môže každý veľmi jednoducho vymodelovať pomocou akéhokoľvek okrúhleho vrchnáka (alebo napr. CD-čka), špajdle, papiera a ceruzky.

Základná ortocykloida Obr. 25 Základná ortocykloida
Skrátená ortocykloida Obr. 26 Skrátená ortocykloida
Predĺžená ortocykloida Obr. 27 Predĺžená ortocykloida

Epicykloida


Epicykloida je krivka, ktorú vytvorí bod pevne spojený s kružnicou kotúľajúcou sa s inou kružnicou. Rovnako ako pri ortocykloidách, aj pri tomto pohybe môžeme zostrojiť epicykloidy základné, skrátené i predĺžené. Preskúmajme však tento krát prípady rôznych epicykloíd podľa toho, aký je pomer polomerov oboch kružníc. Označme m = rh / rk. Ak m = 1, teda obe kružnice budú mať rovnaký polomer, vznikne krivka, ktorú nazývame kardioida. Ak m = 2, teda kružnica, ktorú kotúľame má polomer rovný polovici polomeru pevnej kružnice, vznikne nefroida.

Kardioida Obr. 28 Kardioida
Nefroida Obr. 29 Nefroida
Kardioida Obr. 30 Kardioida
Kardioida Obr. 31 Kardioida

Hypocykloidy


Hypocykloida je krivka, vytvorená bodom pevne spojeným s kružnicou, ktorá sa kotúľa po vnútornej strane inej kružnice. Podľa toho, či bod leží na obvode kotúľajúcej sa kružnice, vo vnútri kruhu, či mimo kruhu, ktorý je touto kružnicou ohraničený opäť hovoríme o hypocykloide základnej, skrátenej alebo predĺženej. Tvar hypocykloidy rovnako ako pri epicykloidách závisí od pomeru polomerov oboch kružníc k a h. Označme opäť m = rh / rk. Ak m = 3 vznikne tzv. Steinerova hypocykloida, ak m = 4, ide o astroidu.

 Steinerova hypocykloida Obr. 32 Steinerova hypocykloida
Astroida Obr. 33 Astroida

Pericykloida


Pericykloida vznikne ako trajektória bodu pevne spojeného s kružnicou kotúľajúcou sa svojim vnútorným obvodom po vonkajšom obvode druhej kružnice. Dá sa ukázať, že každá pericykloida je epicykloidou a naopak.

Brachystochrona


Brachystochrona je krivka spájajúca dva body, po ktorej sa hmotný bod dostane z jedného bodu do druhého pôsobením gravitačného poľa. Brachystochrona je vždy časťou cykloidy. Prvýkrát tento pojem použil Johann Bernoulli v roku 1696 v časopise Acta Eruditorium.

Model na ilustráciu brachystochrony z 18. storočia z dreva 
a slonoviny Obr. 34 Model na ilustráciu brachystochrony z 18. storočia z dreva a slonoviny

Konchoidy


Konchoidálny pohyb vykonáva priamka m prechádzajúca pevným bodom v rovine. Bod Q priamky m sa pohybuje po pevnej krivke k. Krivku k nazývame určujúcou krivkou a bod P nazývame pólom konchoidálneho pohybu.

Nikomedova konchoida


Priama konchoida priamky q pre pól P sa nazýva Nikomedova konchoida. Úplnú konchoidu dostaneme, keď na obidve polpriamky určené bodom Q na pohybujúcej sa priamke m nanášame od bodu Q úsečku konštantnej dĺžky d = |QM|. Nikomedova konchoida má dve vetvy a bod P nazveme jej pólom.

Nikomedova konchoida Obr. 35 Nikomedova konchoida

Versiera


Krivkou nazývanou Versiera sa v roku 1748 preslávila Maria Gaetana Agnusi. Skúmal ju tiež P. Fermat v roku 1666 a G. Grandi v r. 1703. Latinské meno Versoria jej dal G. Grandi a znamená "otáčajúca sa vo všetkých smeroch". Do taliančiny toto slovo preložil ako Versiera. Keď anglický matematik J.Golson prekladal Mariin text do angličtiny, splietol slovo "la' versiera" so slovom "l' aversiera". Slovo "aversiera" pritom v preklade znamená "ona diabol". Preto krivku v anglickom znení nájdete pod názvom Witch of Agnesi - Agnesina striga. Zostrojiť Versieru je veľmi jednoduché.

Versiera Obr. 36 Versiera

Strofoida


Strofoida sa prvýkrát objavuje v práci I. Barlova v r. 1670, hoci ju vo svojich listoch opísal už okolo roku 1645 E. Toricceli. Meno strofoida jej navrhol už v r. 1846 E. Montucci. Zostrojenie strofoidy je rovnako ako zostrojenie verziéry pomerne jednoduché. Zvoľme v rovine priamku m a na nej dva rôzne body A, P. Bodom A zostrojme priamku q kolmú na priamku m. Bodom P zostrojme priamku b tak, aby nebola s priamkou q rovnobežná a označme B jej priesečník s priamkou q. Narysujme ďalej kružnicu k so stredom v bode A a polomerom r = |AB|. Priesečníky S, R priamky b s kružnicou k sú bodmi strofoidy.

Strofoida Obr. 37 Strofoida

Štvorlístok


Túto krivku v rokoch 1723 - 1728 skúmal G. Grandi. Majme danú úsečku AB dĺžky a, ktorej konce sa pohybujú po súradnicových osiach x, y. Zostrojme priamku h prechádzajúcu začiatkom súradnicovej sústavy kolmú na úsečku AB. Priesečník H priamky h s úsečkou AB je bodom hľadanej krivky.

Štvorlístok Obr. 38 Štvorlístok

Medzi ďalšie zaujímavé krivky, ktorých popis je však pomerne zložitý by sme isto mohli zaradiť Verzieru, Strofoidu, Štvorlístok, Pascalova ulita, Dioklesova cisoida a podobne.

Naspäť